LÓGICA PROPOSICIONAL, BOOLEANA, POLIVALENTE Y CONTINUA

“La lógica es combinar lo conocido para alcanzar lo desconocido” (George Edward Moore)

“La lógica es trascendental” (Wittgenstein, Tractatus 6.13)

“La lógica es una gramática profunda de lo racional” (Patrick K. Bastable)

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Lógica proposicional
Los principios de la lógica proposicional son:

• Toda proposición tiene asociado un valor de verdad: verdadero (V) o falso (F), es decir, toda proposición es verdadera o falsa. No hay valores intermedios.
  
  
• Las proposiciones se suelen simbolizar con letras: p, q, r, etc,, que representan o se consideran variables proposicionales, pues se puede razonar con ellas, independientemente de su contenido (su semántica). Solo interesa su valor de verdad.
  
  
• Hay dos operadores lógicos primarios o fundamentales: la negación lógica (p') y la conjunción lógica (p∧q). Todos los demás operadores lógicos se pueden definir a partir de estas dos; son operadores derivados. Por ejemplo:
  
  
  • p∨q = (p'∧q')' (disyunción lógica)
    
  • p→q = p'∨q (implicación lógica)
    
  • p↔q = (p→q)∧(q→p) (biimplicación o equivalencia lógica)
  
  
• Los operadores lógicos “conjunción” y “disyunción” son duales, es decir, uno se puede definir en función de otro. Son las dos leyes de De Morgan. La primera ley es la definición anterior de disyunción lógica. La otra (dual) es: p∧q = (p'∨q')'. Por lo tanto, se pueden elegir también como operadores primarios la negación y la disyunción.
  
  
• La contraria de una proposición p es una proposición p’ cuyos valores de verdad son los contrarios de p. La tabla de verdad es:
  
  

  p	p'
  F	V
  V	F

  
  Es decir: F' = V y V' = F.
  
  
• Las tablas de verdad de la conjunción, disyunción, implicación y equivalencia lógicas son:
  
  

  p	q	p∧q	p∨q	p→q	p↔q
  F	F	F	F	V	V
  F	V	F	V	V	F
  V	F	F	V	F	F
  V	V	V	V	V	V

  
  La conjunción y disyunción lógicas son conmutativas:
  p∧q ≡ q∧p     p∨q ≡ q∨p
  
  También se cumple la propiedad de idempotencia:
  p∧p = p     p∨p = p
  
  La conjunción lógica es V si son V ambas variables proposicionales. La disyunción lógica es V cuando una de ellas es V. Por lo tanto,
  
  
  p∧F = F     p∧V = p
  p∨F = p     p∨V = V
  V→p = p     F→p = V
  
  
• Una fórmula lógica es una expresión en la que intervienen variables proposicionales, valores de verdad y operadores lógicos.
  
  
• Una tautología es una fórmula lógica que es siempre V, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones componentes. Por ejemplo, p∨p'  y  p→p. Por lo tanto, p∨p' = V  y  p→p = V.
  
  
• Una contradicción es una fórmula lógica que es siempre F, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones componentes. Por ejemplo, p∧p'  y  p∧F. Por lo tanto, p∧p' = F  y  p∧F = F.

El conector lógico autosuficiente de Sheffer

Henry Maurice Sheffer [1913] demostró que la lógica proposicional podia definirse mediante una sola operación lógica binaria: NAND (NOT AND), la negación de la conjunción, simbolizado por p↑q y que denóminó “stroke” (marca). Posteriormente se descubrió que idéntico papel desempeñaba su operador dual, que es NOR (NOT OR), la negación de la disyunción, que se simboliza por p↓q. Las tablas de verdad son:

p	q	q↑q	q↓q
F	F	V	V
F	V	V	F
V	F	V	F
V	V	F	F

Mediante cualquiera de estos dos operadores primitivos es posible expresar los otros operadores lógicos (operadores derivados):

p' = p↑p    p' = p↓p
p∧q = p'↑q'    p∧q = p'↓q'
p∨q = (p'∧q')'    p∨q = (p'∧q')'

Ambos operadores son conmutativos, pero no asociativos. Por ejemplo:

(V↑V)↑F = V    V↑(V↑F) = F
(V↓V)↓F = V    V↓(V↓F) = F

La propiedad de estos dos operadores de ser autosuficientes a nivel lógico les convierte en elementos esenciales en el diseño de circuitos electrónicos digitales (procesadores y memoria). Normalmente se suele utilizar NAND.

Charles Sanders Peirce [1880] también había descubierto estos operadores más de 30 años antes que Sheffer, utilizando el término “ampheck” (doble filo), pero nunca publicó su descubrimiento. El operador NOR también se denomina “la daga de Quine”, pues fue Willard van Orman Quine quien popularizó este operador para destacar que es el único puñal o arma que necesita un lógico.


Lógica booleana

La lógica booleana o binaria utiliza los valores 0 y 1 para representar los valores “verdadero” y “falso”, respectivamente. Esta representación permite convertir las expresiones lógicas en expresiones algebraicas para facilitar los cálculos.

Si p y q son valores binarios, tenemos las siguientes definiciones:

1. Operaciones lógicas primitivas:
   
   p' = 1 − p
   p∧q = pq
   
   
2. Operaciones lógicas derivadas:
   
   p∨q = (p'∧q')' = p + q − pq
   
   p→q = p'∨q = 1 − p + q − (1 − p)q = 1 − p + pq
   
   p↔q = (p→q)∧(q→p) = 1 − p − q − p²q − pq² + p²q²

Lógica polivalente

Una lógica polivalente o multivaluada es una lógica que contempla más de los dos valores de verdad clásicos −verdadero (V) y falso (F)−, admitiendo valores adicionales intermedios. Recibe el nombre de “lógica no aristotélica” o “lógica no clásica” porque para la lógica aristotélica todo enunciado es o verdadero o falso. La lógica proposicional y la booleana son casos particulares de la lógica polivalente (son lógicas bivalentes). Las lógicas polivalentes abren nuevos horizontes de investigación de leyes lógicas alternativas o más generales.

El caso más simple de lógica polivalente es el de una lógica de tres valores (lógica trivalente). El tercer valor, distinto de V y F, se puede interpretar de muchas maneras: indeterminado, desconocido, ni verdadero ni falso, probable, posible, indiferente, etc.

Si asociamos o asignamos el valor 0 a F y 1 a V, los valores intermedios son fracciones de la unidad. Por ejemplo, en la lógica de 3 valores, el valor intermedio es 1/2, en la lógica de 4 valores, los valores numéricos equidistantes asociados son 0, 1/3, 2/3 y 1. En general, una lógica con n valores tiene valores 0, 1/(n−1), 2/(n−1), ..., (n−2)/(n−1), 1, que se pueden interpretar como una medida del grado de verdad, desde 0 hasta 1.


Operaciones lógicas de la lógica polivalente

En la lógica polivalente existen muchas posibles formas de definir las operaciones lógicas. La que se presenta aquí tiene las características siguientes:

• Está basada en dos operaciones primitivas, a partir de las cuales pueden definirse el resto (las derivadas). Son conceptualmente las mismas que las de la lógica binaria.
  
  
• Es una generalización de la lógica binaria, es decir, ésta sería un caso particular de lógica polivalente para dos valores.
  
  
• El número total de operaciones o funciones lógicas posibles de dos variables para la lógica binaria (o bivalente) es 2^(2^2) = 16. En general, para una lógica de n valores es n^(n^2).

Las operaciones lógicas primitivas son:

1. Operación lógica contraria de p. Se define como p' = 1−p. Ejemplo para la lógica de 4 valores:
   
   

   Variable	Valores
   p	0	1/3	2/3	1
   p'	1	2/3	1/3	0

   
   
2. Conjunción lógica de p y q. Se define como el valor mínimo de p y q: p∧q = min(p, q). Ejemplo:
   
   

   p\q	0	1/3	2/3	1
   0	0	0	0	0
   1/3	0	1/3	1/3	1/3
   2/3	0	1/3	2/3	2/3
   1	0	1/3	2/3	1

   
   Con estas definiciones siguen siendo válidas las leyes de la lógica binaria. Por ejemplo, mediante las leyes de De Morgan podemos obtener la disyunción lógica:
   
   p∨q = (p'∧q')' = 1 − min(p', q') = 1 − min(1−p, 1−q) = max(p, q)
   
   La tabla de verdad de la disyunción para la lógica de 4 valores es:
   
   

   p\q	0	1/3	2/3	1
   0	0	1/3	2/3	1
   1/3	1/3	1/3	2/3	1/3
   2/3	2/3	3/3	2/3	1
   1	1	1	1	1

Lógica continua

La lógica polivalente es una lógica discreta, pues solo contempla un número finito de valores de verdad. La generalización natural es pasar a la lógica continua (o infinitovalente), en la que se contemple como valor de verdad cualquier número real entre 0 y 1, en donde 0 representa F, y 1 representa V.

Las definiciones anteriores de la lógica discreta siguen siendo válidas para la lógica continua. Y las leyes son también las mismas.


Especificación de la Lógica en MENTAL
Lógica proposicional

En MENTAL podemos especificar la lógica proposicional tradicional y evaluar fórmulas lógicas de forma automática. Si las variables p, q, r, etc. representan valores de verdad (V o F), entonces podemos definir las operaciones lógicas primitivas:

Proposición contraria.
⟨( p' = (V ←' ((p=V) → F )⟩

Conjunción lógica.
⟨( p∧q = (F ←' ((p=V)∧(q=V)) → V )⟩

Las operaciones lógicas derivadas son:

Disyunción lógica.
⟨( p∨q = (p'∧q')' )⟩

Implicación lógica.
⟨( p→q = (p'∨q) )⟩

Equivalencia lógica.
⟨( p↔q = (p→q)∧(q→p) )⟩

Y podemos establecer las leyes de la lógica proposicional, como las siguientes:

⟨( p∧p = p )⟩
⟨( p∨p = p )⟩
⟨( p∧q ≡ q∧p )⟩
⟨( p∨q ≡ q∨p )⟩
⟨( p∧F = F )⟩
⟨( p∧V = p )⟩
⟨( p∨F = p )⟩
⟨( p∨V = V )⟩
⟨( V→p = p )⟩
⟨( F→p = V )⟩

Gracias a estas expresiones genéricas, se pueden evaluar automáticamente las expresiones lógicas. Por ejemplo:

• p∨V // ev. V
• p∨p∨p∨p // ev. p
• (p=V q=F)    ((p∧q')'∨F)' // ev. V

Lógica binaria

En MENTAL, podemos realizar cálculos lógicos de una manera mucho más sencilla basándonos en los dígitos binarios, haciendo que F y V representen a los dígitos 0 y 1, respectivamente.

(V =: 1) // V representa el 1
(F =: 0) // F representa el 0

Las operaciones lógicas primitivas son:

Proposición contraria.
⟨( p' = 1−p )⟩

Conjunción lógica.
⟨( p∧q = p*q )⟩

Y las derivadas habituales:

Disyunción lógica.
⟨( p∨q = (p'∧q')' )⟩

Implicación lógica.
⟨( p→q = (p'∨q) )⟩

Equivalencia lógica.
⟨( p↔q = (p→q)∧(q→p) )⟩

Y entonces podemos evaluar expresiones lógicas. Los valores de verdad representan a dígitos binarios, se realiza el cálculo, y el resultado (0 o 1) se convierte (por evaluación inversa) en V o F.

(p=V q=F)
((p∧q')'∨F)' // ev. V

Verdad y falsedad como magnitudes cualitativas: magnitud lógica

Aunque los valores de verdad se representan normalmente como números, esto no es correcto ni formal ni semánticamente. Es más correcto considerar la verdad (V) como la unidad lógica y la expresión f*V como magnitud lógica o magnitud de verdad, siendo f un número real entre 0 y 1, que representa la “cantidad” o “fracción” de verdad. Se establece así una analogía con las magnitudes físicas (p.e. 3*metro expresa una magnitud de longitud, de cantidad 3 y unidad metro).

V y F son magnitudes lógicas complementarias. Por definición, se cumplen las propiedades:

⟨( f*V ≡ (1−f)*F )⟩
⟨( f*F ≡ (1−f)*V )⟩
⟨( (f*V)' = f*F )⟩
⟨( (f*F)' = f*V )⟩
⟨( (f*V)' = (1−f)*V )⟩
⟨( (f*F)' = (1−f)*F )⟩

En particular, si f=0, entonces (0*F ≡ V) y (0*V ≡ F). Y si f=1, entonces (V' = F) y (F' = V).


Lógica generalizada

A partir de las definiciones de las magnitudes de verdad, podemos definir las operaciones lógicas de manera generalizada, válidas para la lógica discreta y continua (polivalente e infinitovalente):

Proposición contraria.
⟨( p' = 1−p )⟩

Conjunción lógica.
⟨( p∧q = min(p q) )⟩

Disyunción lógica. ⟨( p∨q = max(p q) )⟩

Siendo min y max los valores mínimo y máximo, respectivamente, de los argumentos.

⟨( min(p q) = (p ← p<q → q) )⟩

⟨( max(p q) = (q ← p>q → p) )⟩

Por ejemplo:

(p = 0.7*V)
(q = 0.2*V)

p' // ev. 0.3*V (valor complementario)
q' // ev. 0.8*V (id.)

p∧q // ev. 0.2*V (valor mínimo)

p∨q // ev. 0.7*V (valor máximo)

(p∧q')'∨F // ev. 0.7*V

Lógica existencial

En MENTAL no se utilizan valores de verdad, sino valores existenciales, que no remiten al mundo externo, sino a las propias expresiones, al mundo interno (el espacio abstracto). Los valores existenciales son las metaexpresiones α (existencia) y θ (no existencia).

En MENTAL la lógica se fundamenta en la primitiva “Condición” (si p> entonces q, p→q), que se evalúa como q si existe p, y se evalúa como la expresión nula (θ) si p no existe. También existen su contraria (si no existe p entonces q, p→'q o p'→q) y la expresión condicional completa: (r ←' p → q).

Por lo tanto, la “tabla existencial” para la implicación es una tabla más simple que la tabla de verdad de la lógica proposicional, que solo considera si el antecedente p existe o no y que produce como resultado el consecuente (q) o la expresión nula (θ), respectivamente:

p	p→q	(r ←' p → q)
θ	θ	r
α	q	q

Si p y q son valores existenciales, tenemos las definiciones siguientes de las operaciones lógicas:

Contraria.
⟨( p' = (θ ←' p → α) )⟩ // (θ' = α) y (α' = θ)

Conjunción existencial.
⟨( p∧q = p→q→α )⟩

Disyunción existencial.
⟨( p∨q = {p q}↓ )⟩

Una expresión existencial es aquella que produce como resultado θ ó α.

Ejemplos: (θ + α)   (α ← x)   (x > y)?   (x = y)?

La expresión x? produce siempre una expresión existencial (θ o α), según que x exista o no, respectivamente.

Si p y q son valores existenciales, tenemos las tablas de la conjunción y la disyunción existencial, análogas a las clásicas:

p q p∧q θ θ θ θ α θ α θ θ α α α

p q p∨q θ θ θ θ α α α θ α α α α

Tautologías

Una expresión genérica parametrizada x es una tautología si su evaluación es V o α, independientemente de los valores lógicos o existenciales de los parámetros.

Por ejemplo, la forma modus ponens en lógica (p∧(p→q))→q es una tautología, pues siempre se evalúa como “verdadero” independientemente de los valores “verdadero” o “falso” de p y q. En MENTAL, esta expresión toma una forma orientada a la evaluación de la expresión p∧(p→q), que es q: ⟨( p∧(p→q) = q )⟩. Por ejemplo,

(p = 0.7*V)
(q = 0.1*V)
p∧(p→q) // ev. 0.1*V

Lógicas generalizadas según los valores de verdad

En MENTAL hay varios modos de generalizar la lógica relativa, según los valores de verdad, entre ellos los siguientes:

• Permitiendo que una expresión x tenga a la vez un valor V y un valor F: x/{V F}.
  
  
• Permitiendo que un objeto tenga a la vez un valor V de grado f y un valor F de grado g: x/{f*V g*F}, siendo f+g ≤ 1.
  
  
• Asignando segmentos de valores de verdad y falsedad entre 0 y 1: x/{(f1_f2)*V (g1_g2)*F)}, siendo f1<f2 y g1<g2.
  
  
• Asignando como valores de verdad un subconjunto de valores entre 0 y 1: x/{0.3*V 0.4*V 0.7*F}

Valores de verdad recursivos

Se cumplen las 4 propiedades siguientes, que se inspiran en la Metafísica de Aristóteles: “Decir de lo que no es que es, o decir de lo que es que no es, es falso; y decir de lo que es que es, y de lo que no es que no es, es verdadero”:

1. Si x es verdadero, la expresión “x es verdadero” es verdadera: ( (x/V) → (x/V)/V )
   
   Y así sucesivamente: ( (x/V)/V → ((x/V)/V)/V ) ...
   
   
2. Si x es verdadero, la expresión “x es falso” es falso: ( (x/V) → (x/F)/F )
   
   Y así sucesivamente: ( (x/F)/F → ((x/F)/F)/V ) ...
   
   
3. Si x es falso, la expresión “x es verdadero” es falsa: ( (x/F) → (x/V)/F )
   
   Y así sucesivamente: ( (x/V)/F → ((x/V)/F)/V ) ...
   
   
4. Si x es falso, la expresión “x es falso” es verdadera: ( (x/F) → (x/F)/V )
   
   Y así sucesivamente: ( (x/F)/V → ((x/F)/V)/V ) ...

Estas 4 leyes se pueden expresar así:

(V/V = V)   (V/F = F)   (F/V = F)   (F/F = V)

que se interpretan como: calificar de verdad a la verdad es igual a la verdad, calificar como falso a la verdad es igual a lo falso, etc.


MENTAL como sistema lógico axiomático formal

MENTAL también puede considerarse un sistema lógico axiomático formal, cuyos componentes son:

• Fórmulas.
  Son las expresiones del lenguaje.
  
  
• Axiomas.
  Son los axiomas formales que relacionan las primitivas entre sí. Son de tipo universal.
  
  
• Reglas de inferencia.
  Son expresiones genéricas universales de tipo condicional, que son también axiomas formales de tipo universal.
  
  
• Teoremas.
  Son expresiones derivadas de los axiomas o teoremas y las reglas de inferencia. Son también de carácter universal.

Ejemplo de inferencia automática:
“Todos los hombres son mortales”.

Especificación en MENTAL:
⟨( x/hombre → x/mortal )⟩

Si especificamos, en un cierto momento, Pepe/hombre, entonces se deduce automáticamente Pepe/mortal.

Las ventajas de MENTAL como sistema lógico axiomático formal son:

• Los axiomas, las reglas de inferencia y los teoremas se representan con un mismo formalismo.
  
  
• No se necesitan motores de inferencia. Las expresiones genéricas actúan como motor deductivo automático.
  
  
• Al existir un entorno integrado en el que se interrelacionan todos los operadores, se pueden generar una gran riqueza de teoremas.

Ventajas de MENTAL como lenguaje lógico

• Proporciona una fundamentación más simple y consistente, al basarse solo en las primitivas semánticas universales, pero cuya esencia lógica reside solo en la primitiva “Condición”.
  
  
• Con la primitiva “Condición” se resuelve el problema de la implicación lógica. [Ver Aplicaciones – Lógica – El Problema de la Implicación.]
  
  
• Es un sistema axiomático formal. Permite realizar evaluaciones automáticas de expresiones lógicas mediante leyes lógicas establecidas con expresiones genéricas parametrizadas.
  
  
• No se utiliza un operador específico (¬) para la negación lógica. Se utiliza el metaoperador contrario ('), que es universal, y que se aplica a expresiones que son contrarias o duales.
  
  
• Permite expresar la lógica discreta y la continua.
  
  
• Considera los valores de verdad como magnitudes lógicas.
  
  
• Permite trabajar con los valores de verdad convencionales (V y F), con valores binarios, y con los valores existenciales (θ y α).

Adenda
Historia de la lógica polivalente

• A pesar de que siempre se habla de lógica clásica como “lógica aristotélica”, fue el propio Aristóteles el que se planteó la veracidad de la ley de bivalencia o de “tercero excluido” (toda proposición es verdadera o falsa) al reflexionar sobre el futuro contingente (lo que es posible que suceda), con el ejemplo “Mañana habrá una batalla naval”. Llegó a la conclusión de que el principio de bivalencia debe quedar en suspenso hasta que los hechos ocurran y se establezca sus valores de verdad. Mientras tanto, las sentencias de futuro contingente no son ni verdaderas ni falsas. Distinguía entre lo necesario (asociado a lo actual) y lo posible o contingente (asociado a lo potencial, es decir, al poder ser o no ser).
  
  
• El primero en proponer una lógica no clásica fue Nicolái Vasiliev. En 1910 pronunció una conferencia en la que expuso la idea de una lógica no aristotélica, una lógica trivalente, libre del principio del tercero excluido y del principio de la no contradicción. Los tres valores que propuso fueron: S es P, S es no-P, y S es P y no-P, siendo S sujeto y P predicado.
  
  Por analogía con la ”geometría imaginaria” de Lobachevski, Vasiliev denominó a su lógica “imaginaria”. También introdujo (en 1930, junto con Tarsky) la noción de “metalógica”, o “lógica trascendental”, la disciplina que tiene por objeto la lógica misma y en la que se distinguen niveles de razonamiento lógico. También intentó generalizar su lógica a n valores o estados mutuamente exclusivos. Vasiliev utilizó un estilo básicamente conceptual, no llegando a formalizar su lógica imaginaria.
  
  
• En 1920, Jan Lukasiewicz fue el primero en proponer, de manera formal, una lógica trivalente para generalizar la lógica clásica regida por la bivalencia, por lo que es considerado como el fundador de la lógica polivalente. Su motivación fue de tipo filosófico: el manejo de proposiciones contingentes, con valor de verdad abierto. Lukasiewicz demostró que esta lógica trivalente era consistente.
  
  Con la lógica trivalente, Lukasiewicz resolvió el problema aristotélico de los futuros contingentes, interpretando el tercer valor como “posible, no determinado”, asignándole un valor de 1/2, intermedio entre 0 (falso) y 1 (verdadero). En la conjunción lógica (AND) utilizaba el valor mínimo, y en la disyunción lógica (OR) el valor máximo. Con esta lógica dejan de funcionar las leyes de no contradicción (una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez) y de tercero excluido.
  
  En 1922, Lukasiewicz generalizó la lógica trivalente a cualquier número finito de valores y finalmente a un número infinito, tanto discreto como continuo.
  
  
• En 1921, Emil Post desarrolló, de manera independiente de Lukasiewicz, una lógica polivalente de tipo algebraico de n valores interpretados como probabilidades.
  
  
• En 1931, Mordechaj Wajsberg axiomatizó el cálculo de Lukasiewicz.
  
  
• En 1938, Stephen Kleene presentó un sistema de lógica trivalente en el marco de la teoría de las funciones recursivas.
  
  
• En 1976, Peirce creó una lógica trivalente (o triádica) en el que el tercer valor era un grado intermedio entre la afirmación y la negación, un valor tan real como los otros dos.

Bibliografía

• Aristóteles. Peri Hermeneias, De Interpretatione. Revista Teorema, nro. 16, Valencia, 1976.
  
  
• Beall, J.C.; Bas C. Van Fraase. Possibilities and Paradox : An Introduction to Modal and Many-Valued Logic. Oxford University Press, 2003.
  
  
• Deaño, Alfredo. Introducción a la lógica formal. Alianza editorial, 1975.
  
  
• Ferrater Mora, José; Leblanc, Hughes. Lógica Matemática. Fondo de Cultura Económica, 1962.
  
  
• Peirce, Charles Sanders. A Boolian Algebra with One Constant. In Hartshorne, C. and Weiss, P., eds., (1931-35) Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Vol. 4: 12-20, Cambridge: Harvard University Press, 1880.
  
  
• Rine, D.C. (ed.). Computer Science and Multiple-Valued Logic: Theory and Applications. North-Holland, 1984.
  
  
• Sheffer, Henry Maurice. A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants. Transactions of the American Mathematical Society 14: 481-488, 1913.
  
  
• Suppes, Patrick. Introduction to Logic. Dover, 1999.